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Matemática para o Ensino Médio e Vestibulares
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Funções trigonométricas: seno, cosseno , tangente, cotangente, secante e cossecante.
Considere a figura abaixo, onde está representado um círculo trigonométrico (centro na origem e raio unitário). Da simples observação da figura, temos os seguintes pontos notáveis:
A(1;0) , B(0;1) , A’(-1;0) e B’(0;-1).
Definiremos os seguintes eixos:
A’A = eixo dos cossenos (variando no intervalo real de -1 a +1)
B’B = eixo dos senos (variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ® variando no intervalo real (-¥ , +¥ ).
Observe também que as coordenadas cartesianas do ponto U são:
x0 = abscissa e y0 = ordenada, ou seja: U(x0 , y0).
Considere o arco trigonométrico AU de medida a. Nestas condições definimos:
1 - Seno do arco de medida a = ordenada do ponto U = y0 e indicamos: sen a = y0 .
2 - Cosseno do arco de medida a = abscissa do ponto U = x0 e indicamos: cos a = x0
Lembrando que o raio do círculo trigonométrico é igual a 1 (por definição), concluímos que o seno e o cosseno de um arco são números reais que variam no intervalo real de -1 a +1.
Da figura acima, podemos escrever: x02 + y02 = OU2; mas, OU = raio do círculo trigonométrico e portanto vale 1.
Daí vem a seguinte relação entre o seno e o cosseno de um arco, já que x0 = cos a e y0 = sen a :
sen2a + cos2a = 1 , denominada relação fundamental da Trigonometria.
Observando ainda a figura acima e considerando os sinais das ordenadas e das abscissa ou seja, sinais do seno e do cosseno, podemos concluir que o seno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 180º (1º e 2º quadrantes) e negativo para os arcos compreendidos entre 180º e 360º (3º e 4º quadrantes).
Já para o cosseno, usando a mesma consideração anterior, concluímos que o cosseno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 90º (1º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 270º e 360º (4º quadrante) e, negativo para os arcos compreendidos entre 90º e 180º (2º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 180º e 270º (3º quadrante).
Valores notáveis do seno e cosseno:
sen 0º = sen 180º = cos 90º = cos 270º = 0
sen 90º = cos 0º = cos 360º = 1
sen 270º = cos 180º = -1
Ainda na figura anterior, observe o segmento AT.
O comprimento deste segmento, é por definição, a tangente do arco AU de medida a.
Indicamos isto escrevendo tg a = AT.
A escala adotada no eixo das tangentes é a mesma dos eixos das abscissa e das ordenadas.
Pela semelhança dos triângulos Ox0U e OAT, podemos escrever:
 ;
mas como y0 = sen a, x0 = cos a, AT = tg a e OA = 1, vem:
para cos a ¹ 0.
Nota: para saber o sinal da tangente nos 4 quadrantes, basta usar a regra de sinais da divisão, já que a tangente é simplesmente o quociente do seno pelo cosseno, cujos sinais nos quadrantes já conhecemos.
Somente como exemplo, como o seno e o cosseno são negativos no 3º quadrante, sendo a tangente o quociente entre eles, concluímos que neste quadrante, a tangente será positiva, pois menos dividido por menos dá mais!
Os inversos multiplicativos do seno, cosseno e tangente, recebem designações particulares a saber:
1 - inverso do seno = cossecante (símbolo: cossec)
2 - inverso do cosseno = secante (símbolo: sec)
3 - inverso da tangente = cotangente (símbolo: cotg )
Assim, sendo a um arco trigonométrico, poderemos escrever:
para sen a ¹ 0.
para cos a ¹ 0.
para sen a ¹ 0.
Exercícios Resolvidos
1. Qual o valor máximo da função y = 10 + 5 cos 20x ?
Solução:
O valor máximo da função ocorre quando o fator cos20x é máximo, isto é, quando
cos 20x = 1. Logo, o valor máximo da função será y = 10 + 5.1 = 15.
2. Qual o valor mínimo da função y = 3 + 5 sen 2x?
Solução:
O valor mínimo da função ocorre quando o fator sen2x é mínimo, isto é, quando
sen2x = -1.
Logo, o valor mínimo da função será y = 3 + 5(-1) = - 2 .
3. Qual o valor máximo da função  ?
Solução:
A função terá valor máximo, quando o denominador tiver valor mínimo. Para que o denominador seja mínimo, deveremos ter cos 20x = 1
y = 10 / (6 - 2.1) = 10 / 4 = 5/2.
Portanto, o valor máximo da função é 5/2.
Qual seria o valor mínimo da mesma função?
Resposta: 5/4
4. Para que valores de m a equação sen 30x = m - 1 tem solução?
Solução:
Ora, o seno de qualquer arco, é sempre um número real pertencente ao intervalo fechado [-1,1]. Logo, deveremos ter: -1 £ m -1 £ 1 0 £ m £ 2.
Agora calcule:
a) o valor mínimo da função y = 2 + 9sen4x.
b) o valor máximo da função y = 10 - cosx .
c) o valor de y = sen 180º - cos270º
d) o valor de y = cos 180º - sen 270º
e) o valor de y = cos(360.k) + sen(360.k), para k inteiro.
Respostas: a) - 7 b) 11 c) 0 d) 0 e) 1
Fórmulas derivadas das fundamentais
Já sabemos as cinco fórmulas fundamentais da Trigonometria, a saber:
Dado um arco trigonométrico x , temos:
Fórmula I: Relação Fundamental da Trigonometria.
sen2x + cos2x = 1
[o mesmo que (senx)2 + (cosx)2 = 1]
Fórmula II: Tangente.
Fórmula III: Cotangente.
Fórmula IV: Secante.
Fórmula V: Cossecante.
Nota: considere nas fórmulas acima, a impossibilidade absoluta da divisão por ZERO.
Assim, por exemplo, se cosx = 0, não existe a secante de x ; se sen x = 0, não existe a cosec x, ...
Para deduzir duas outras fórmulas muito importantes da Trigonometria, vamos partir da Fórmula I acima, inicialmente dividindo ambos os membros por cos2 x¹ 0.
Teremos:
Das fórmulas anteriores, concluiremos inevitavelmente a seguinte fórmula que relaciona a tangente e a secante de um arco trigonométrico x:
tg2x + 1 = sec2x
Se ao invés de dividirmos por cos2x, dividíssemos ambos os membros por sen2x, chegaríamos a:
cotg2x + 1 = cosec2x
As duas fórmulas anteriores, são muito importantes para a solução de exercícios que comparecem nos vestibulares, e merece por isto, uma memorização. Aliás, as sete fórmulas anteriores, têm necessariamente de ser memorizadas, e isto é apenas o início! A Trigonometria, infelizmente, depende de memorizações de fórmulas, mas, se você souber deduzi-las, como estamos tentando mostrar aqui, as coisas ficarão muito mais fáceis! Portanto, fique tranqüilo(a).
1 - Simplifique a expressão a seguir:
Solução:
Das aulas anteriores, poderemos escrever:
2 - Sendo x um arco tal que cosx = tgx , calcule senx.
Solução:
Sabemos que tgx = senx / cosx.
Substituindo tgx por cosx (dado do problema), vem:
cosx = senx / cosx donde vem: cos2x = senx. Mas,
cos2x = 1 - sen2x .
Substituindo, fica: 1 - sen2x = senx.
Daí, vem: sen2x + senx - 1 = 0
Fazendo senx = y e substituindo: y2 + y - 1 = 0.
Resolvendo esta equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, fica:
Como y = senx, somos tentados a dizer que existem dois valores para senx, dados pela igualdade acima. Lembre-se porém que o seno de um arco é um número que pode variar
de -1 a +1. Portanto, somente um dos valores acima satisfaz o problema ou seja:
 que é a resposta procurada.
3 - Para que valor de m a expressão
y = (m - 1)(sen4x - cos4x) + 2cos2x + m.cosx - 2.cosx + 1 é independente de x?
Solução:
Podemos escrever:
y = (m - 1)[(sen2x - cos2x)(sen2x + cos2x)] + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1
Como sen2x + cos2x = 1, substituindo, fica:
y = (m - 1)(sen2x - cos2x) + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1
y = msen2x - mcos2x - sen2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1
Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que sen2x = 1 - cos2x, vem:
y = m(1 - cos2x) - mcos2x - (1 - cos2x) + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1
y = m - mcos2x - mcos2x - 1 + cos2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1
Simplificando os termos semelhantes, fica:
y = m + (4 - 2m)cos2x + (m - 2)cosx
Para que a expressão acima seja independente de x, deveremos ter necessariamente 4 - 2m = 0 e
m - 2 = 0
m = 2, que é a resposta procurada.
4 - Agora resolva você mesmo:
Para que valor de m a expressão
y = m(sen4x - cos4x) + 2cos2x - 1 + m é independente de x?
Resposta: m = 1
5 - Sabendo que senx + cosx = m, calcule (m2 - 1)y sendo y dado pela expressão:
Resposta: m(3 - m2).
Sugestão: Eleve ambos os membros da igualdade dada ao cubo, ou seja:
(senx + cosx)3 = m3 , lembrando que (a+b)3 = a3 + b3 + 3(a+b).ab.
Eleve também ambos os membros da expressão dada ao quadrado, ou seja:
(senx + cosx)2 = m2 , lembrando que (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.
Cosseno da diferença de arcos
Dedução da fórmula
Considere a figura abaixo que representa uma circunferência trigonométrica (centro na origem O(0,0) e raio unitário). Sejam a e b dois arcos trigonométricos com a > b.
 Temos o arco PB de medida b e o arco PA de medida a. Nestas condições, podemos concluir que o arco BA tem medida a - b.
Pelo teorema dos cossenos, sabemos que em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados, pelo cosseno do ângulo que eles formam.
Assim, na figura acima, poderemos escrever, pelo teorema dos cossenos, para o triângulo OAB:
AB2 = OB2 + OA2 - 2. OB . OA . cos(a - b). (Equação 1)
Ora, OB = OA = 1 (raio do círculo trigonométrico, portanto, unitário).
AB = distancia entre os pontos A(cosa,sena) e B(cosb,senb).
Já vimos neste site, a fórmula da distancia entre dois pontos; caso você não se lembre, .
Assim, substituindo os elementos conhecidos na fórmula acima (equação 1), vem:
(cosa - cosb)2 + (sena - senb)2 = 12 + 12 - 2.1.1.cos(a -b)
Desenvolvendo, vem:
cos2a - 2.cosa.cosb + cos2b + sen2a - 2.sena.senb + sen2b = 2 - 2cos(a - b)
Lembrando que cos2a + sen2a = cos2b + sen2b = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria), vem, substituindo:
1 + 1 - 2cosacosb - 2senasenb = 2 - 2cos(a - b)
Simplificando, fica:
-2[cosacosb + senasenb] = -2.cos(a - b)
Donde finalmente podemos escrever a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos a e b:
cos(a - b) = cosa . cosb + sena . senb
Exemplo: cos(x - 90º) = cosx . cos90º + senx . sen90º
Ora, como já sabemos que cos90º = 0 e sen90º = 1, substituindo, vem finalmente:
cos(x - 90º) = senx.
Se fizermos a = 0º na fórmula do cosseno da diferença, teremos:
cos(0 - b) = cos0 . cosb + sen0 . senb
E como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica:
cos(- b) = cosb
Portanto:
cos( - 60º ) = cos60º = 1/2, cos( - 90º) = cos90º = 0, cos ( -180º) = cos 180º = -1, etc.
Se considerarmos a função y = cosx , como cos( - x ) = cosx , diremos então que a função cosseno é uma função par. Reveja o capítulo de funções.
Para finalizar, tente simplificar a seguinte expressão:
y = cos(x - 90º) - cos(x - 270º).
Resposta: 2senx
Adição e subtração de arcos
1. a dedução da fórmula do cosseno da diferença de dois arcos. Apresentaremos a seguir, as demais fórmulas da adição e subtração de arcos sem as deduções, lembrando que essas deduções seriam similares àquela desenvolvida para cos(a – b), com certas peculiaridades inerentes a cada caso.
2. Sejam a e b dois arcos trigonométricos.
São válidas as seguintes fórmulas, que devem ser memorizadas! Repito aqui, que uma das aparentes dificuldades da Trigonometria é essa necessidade imperiosa de memorização de fórmulas. Entretanto, a não memorização levaria a perda de tempo para deduzi-las durante as provas, o que tornaria a situação impraticável. Talvez, a melhor solução seria aquela em que os examinadores que elaboram os exames vestibulares inserissem como anexo de toda prova, um resumo das fórmulas necessárias à sua resolução, exigindo do candidato, apenas o conhecimento e o raciocínio necessários para manipulá-las algébricamente e, aí sim teria sido feito justiça! Fica a sugestão aos professores!.
Eis as fórmulas, já conhecidas de vocês, assim espero.
cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb
cos(a + b) = cosa . cosb – sena . senb
sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa
sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa
Nota: nas duas fórmulas da tangente, sempre leve em conta a absoluta impossibilidade da divisão por zero!
Fazendo a = b nas fórmulas da soma, vem:
sen2a = 2sena . cosa
cos2a = cos2a – sen2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2.sen2a
1 - Multiplicação de arcos
Problema: Conhecendo-se as funções trigonométricas de um arco a , determinar as funções trigonométricas do arco n.a onde n é um número inteiro maior ou igual a 2.
Usaremos as fórmulas das funções trigonométricas da soma de arcos para deduzi-las.
1.1 - Seno e cosseno do dobro de um arco
Sabemos das aulas anteriores que sen(a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a. Logo, fazendo a = b, obteremos a fórmula do seno do dobro do arco ou do arco duplo:
sen 2a = 2 . sen a . cos a
Analogamente, usando a fórmula do cosseno da soma, que sabemos ser igual a
cos(a + b) = cos a . cos b - sen a .sen b
e fazendo a = b, obteremos a fórmula do cosseno do dobro do arco ou do arco duplo:
cos 2a = cos2a - sen2a
Da mesma forma, partindo da tangente da soma, obteremos analogamente a fórmula da tangente do dobro do arco ou do arco duplo:
A fórmula acima somente é válida para tga ¹ 1 e tga ¹ -1, já que nestes casos o denominador seria nulo! Lembre-se do 11º mandamento! NÃO DIVIDIRÁS POR ZERO! Sabemos que a divisão por zero não é possível. Imagine dividir 2 chocolates por zero pessoas!!!
Exemplos:
sen4x = 2.sen2x.cos2x
senx = 2.sen(x/2).cos(x/2)
cosx = cos2(x/2) - sen2(x/2)
cos4x = cos22x - sen22x, ... , etc.
2 - Divisão de arcos
Vamos agora achar as funções trigonométricas da metade de um arco, partindo das anteriores.
2.1 - Cosseno do arco metade
Ora, sabemos que cos2a = cos2a - sen2a
Substituindo sen2a, por 1 - cos2a, já que sen2a + cos2a = 1, vem:
cos2a = 2.cos2a - 1. Daí, vem:
cos2a = (1+cos2a) / 2
Fazendo a = x/2, vem, cos2(x/2) = [1+cosx]/2.
Podemos escrever então a fórmula do cosseno do arco metade como:
Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.
2.2 - Seno do arco metade
Podemos escrever: cos2a = (1-sen2a) - sen2a = 1 - 2sen2a
Daí vem: sen2a = (1 - cos2a)/2
Fazendo a = x/2 , vem: sen2(x/2) = (1 - cosx) / 2.
Podemos escrever então, a fórmula do seno do arco metade como segue:
Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.
2.3 - Tangente do arco metade
Dividindo membro a membro as equações 2.1 e 2.2 anteriores, lembrando que
tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:
Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.
Exercício resolvido
Simplifique a expressão y = cossec2a - cotg2a
Solução:
Sabemos que cossec2a = 1 / sen2a e cotg2a = cos2a / sen2a . Logo,
y = (1/sen2a) - (cos2a/sen2a)
Simplificando, vem: y = (1 - cos2a) / sen2a . Portanto,
Portanto, cossec2a - cotg2a = tga.
Lembre-se que 1 - cos2a = sen2a.
Somente a título de ilustração, vamos ler a expressão resultado: A cossecante do dobro de um arco subtraída da cotangente do dobro do mesmo arco é igual à tangente do arco. Aqui pra nós: a linguagem simbólica não é muito mais fácil?
3 - Transformação de somas em produto
Vamos deduzir outras fórmulas importantes da Trigonometria.
As fórmulas a seguir são muito importantes para a simplificação de expressões trigonométricas.
Já sabemos que:
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
Somando membro a membro estas igualdades, obteremos:
sen(a + b)+ sen(a - b) = 2.sen a . cos b.
Fazendo
a + b = p
a - b = q
teremos, somando membro a membro:
2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q) / 2
Agora, subtraindo membro a membro, fica:
2b = p - q, de onde tiramos b = (p - q) / 2
Daí então, podemos escrever a seguinte fórmula:
Exemplo: sen50º + sen40º = 2.sen45º.cos5º
Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:
Exemplos:
cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10º
cos 60º - cos 40º = -2.sen50º.sen10º
sen 70º - sen 30º = 2.sen20º.cos50º.
Exercícios Resolvidos
1) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, então:
a) senx = 0
b) cosx = 0
c) tgx = 1
d) sen2x = 1
e) tg2x = 1
Solução:
Vamos usar as fórmulas de transformação em produto.
Teremos:
Simplificando, vem:
2.sen2x.cosx = 2.cos2x.cosx. Ora, daí vem, simplificando:
sen2x = cos2x e, portanto, sen2x / cos2x = 1 Þ tg2x =1.
Portanto a igualdade dada equivale à igualdade tg2x = 1. Logo, letra E.
Nota: Lembre-se que sen h / cos h = tg h.
2) Determine o período da função y = sen20x.cos10x + sen10x.cos20x.
Solução:
Sabemos que sena.cosb+senb.cosa = sen(a+b).
Logo,
sen20x.cos10x+sen10x.cos20x = sen(20x+10x) = sen30x
Portanto, a função dada é equivalente a y = sen30x.
Mas, o período de uma função da forma y = senbx é dado por T = 2p / b.
Logo, o período da função dada será: T = 2p / 30 = p /15 radianos.
Resposta: o período da função é igual p /15 rad.
3) Qual o valor máximo da função y = f(x) definida por:
Solução:
Sabemos que cosx.cos4x - senx.sen4x = cos(x+4x) = cos5x
Para concluir isto, basta lembrar da fórmula do cosseno da soma!
Portanto, podemos escrever:
Para que y seja MÁXIMO, devemos ter 100+cos5x = MÍNIMO.
É claro que isto ocorrerá para cos5x = -1.
Logo, o valor máximo da função será: y = 100 / (100 - 1) = 100/99.
Resposta: 100/99.
4) Seja dada a função y = f(x), definida por:
Nestas condições, pede-se calcular o valor de y = f(p /17).
Solução:
Vamos transformar em produto o denominador da função:
Mas, cos13x = cos(17x - 4x) = cos17x.cos4x + sen17x.sen4x.
Como x = p /17, vem imediatamente que 17x = p . Logo, substituindo vem:
cos13x = cosp .cos4x + senp .sen4x = -1.cos4x + 0.sen4x = - cos4x
Já que cos13x = - cos4x , para x = p /17, substituindo, vem finalmente:
y = - cos4x / (2.cos4x) = -1/2.
Resposta: y = - 1/2.
Período das funções trigonométricas
Considere uma função y = f(x) de domínio D. Seja x Î D um elemento do domínio da função f. Consideremos um elemento p Î D.
Se f(x+p) = f(x) para todo x Î D, dizemos que a função f é periódica.
Ao menor valor positivo de p , denominamos período da função f.
Complicado? Não!
Veja o exemplo abaixo:
Seja y = f(x) = senx
Temos que f(x+2p ) = sen(x+2p ) = senx.cos2p + sen2p .cosx =senx .1 + 0.cosx = senx
ou seja, f(x+2p ) = f(x).
Portanto, sen(x+2p ) = senx
Da definição acima, concluímos que o período da função y = senx é igual a 2p radianos.
Analogamente, concluiríamos que:
O período da função y = cosx é 2p radianos.
O período da função y = secx é 2p radianos.
O período da função y = cosecx é 2p radianos.
O período da função y = tgx é p radianos.
O período da função y = cotgx é p radianos.
As afirmações acima equivalem às seguintes afirmações:
cos(x+2p ) = cosx|
sec(x+2p ) = secx
cosec(x+2p ) = cosecx
tg(x+p ) = tgx
cotg(x+p ) = cotgx
De uma forma genérica, poderemos dizer que o período T da função
y = a+b.sen(rx + q)
é dado por:
Observe que somente o coeficiente de x tem influencia para o cálculo do período da função.
A fórmula acima aplica-se também para o caso da função y = a + b.cos(rx+q).
No caso das funções y = a + b.tg(rx+q) ou y = a + b.cotg(rx+q) a fórmula a ser aplicada para o cálculo do período T é:
Exemplos:
Determine o período das seguintes funções trigonométricas:
a) y = sen(2x - 45º)
Resposta: T = 2p /2 = p radianos
b) y = 2.cos(3x+45º)
Resposta: T = 2p /3 rad = 120º . (Lembre-se que p rad = 180º).
c) y = 5 + 10.cos(p x + 2)
Resposta: T = 2p /p = 2 rad
d) y = tg(2x - p )
Resposta: T = p /2 rad
e) y = sen2x.cos4x + sen4x.cos2x
Resposta: A função pode ser escrita como y = sen(2x+4x) = sen6x
Logo, T = 2p /6 = p /3 rad ou 60º.
f) y = senx + cosx
Resposta: Antes de aplicar a fórmula do período, temos que transformar a soma do segundo membro, num produto. Logo,
y = senx + sen(90º - x)
Observe que sen(90º-x) = sen90º.cosx - senx.cos90º = cosx.
Logo, a função dada poderá ser escrita como, usando a fórmula de transformação da soma de senos em produto.
Portanto o período procurado será T = 2p /1 = 2p rad.
Agora resolva estes:
Determine o período das seguintes funções:
a) y = sen10x
Resposta: T = p /5 rad.
b) y = 1 + cos(2x+p /4)
Resposta: T = p rad.
c) y = sen(x/3) + cos(x/2)
Resposta: T = 12p rad.
| Exercícios Resolvidos de Trigonometria |
1 - (UNI-RIO) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:
a) 11 / 24
b) - 11 / 24
c) 3 / 8
d) - 3 / 8
e) - 3 / 10
Solução:
Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6. Teremos então, aplicando a lei dos cossenos:
62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos b 36 - 9 - 16 = - 24 . cos b cos b = - 11 / 24 e, portanto, a alternativa correta é a letra B.
Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.
2 - (UNESP) Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar que
A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a:
a) 0
b) 1/2
c) 3/2
d) 1
e) 2
Solução:
Desenvolvendo os quadrados, vem:
A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos2 y + sen2 x + 2 . senx . seny + sen2 y
Organizando convenientemente a expressão, vem:
A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
A = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
Como os arcos são complementares, isto significa que x + y = 90º y = 90º - x.
Substituindo, vem:
A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x)
Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois sabemos que o seno de um arco é igual ao cosseno do seu complemento e o cosseno de um arco é igual ao seno do seu complemento.
Logo, substituindo, fica:
A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosx
A = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a alternativa correta é
a letra E.
3 - Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.
Solução:
Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem:
Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabemos que
sen 2x = 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem:
(sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3.
Resposta: 2 / 3
4 - (ITA - 96) Seja a Î [0, p /2], tal que sen a + cos a = m .
Então, o valor de
é:
a) 2(m2 - 1) / m(4 - m2)
b) 2(m2 + 1) / m(4 + m2)
c) 2(m2 - 1) / m(3 - m2)
d) 2(m2 - 1) / m(3 + m2)
e) 2(m2 + 1) / (3 - m2)
Solução:
Quadrando ambos os membros da expressão dada, vem:
(sen a + cos a )2 = m2 . Desenvolvendo, fica:
sen2 a + 2 . sen a . cos a + cos2 a = m2
Simplificando, vem: 1 + 2 . sen a . cos a = m2 1 + sen 2a = m2 e, portanto,
sen 2a = m2 - 1
Seguindo o mesmo raciocínio, vamos elevar ambos os membros da expressão dada ao cubo:
Lembrete: (a + b)3 = a3 + b3 + 3(a +b) . ab
Logo:
(sen a + cos a )3 = m3 . Desenvolvendo, vem:
sen3 a + cos3 a + 3 (sen a + cos a ) (sen a . cos a ) = m3
Lembrando que sen a + cos a = m e sen a . cos a = sen 2a / 2, e substituindo, fica:
sen3 a + cos3 a = m3 - 3 (m) . (m2 - 1) / 2
Substituindo esses valores encontrados na expressão dada, teremos então:
E portanto, a alternativa correta é a letra C.
Considere a figura abaixo, onde vemos um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio R. Observe que também podemos dizer que a circunferência está circunscrita ao triângulo ABC.
 Na figura acima, temos:
AH = diâmetro da circunferência = 2R (R = raio)
AO = OH = raio da circunferência = R
Medidas dos lados do triângulo ABC:
AB = c, BC = a e AC = b.
Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciar observando que os ângulos H e B são congruentes ou seja possuem a mesma medida, pois ambos estão inscritos no mesmo arco CA. Além disso, podemos afirmar que o ângulo ACH é reto (90º), pois AH é um diâmetro. Portanto o triângulo ACH é um triângulo retângulo.
Podemos então escrever:
sen H = sen B = cateto oposto / hipotenusa = AC / AH = b/2R
Logo, fica: sen B = b / 2R e, portanto, b/senB = 2R.
Analogamente chegaríamos às igualdades
c/senC = 2R
a/senA = 2R
Como estas três expressões são todas iguais a 2R, poderemos escrever finalmente:
Esta expressão mostra que as medidas dos lados de um triângulo qualquer são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a estes lados, sendo a constante de proporcionalidade igual a 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
Este é o teorema dos senos – TS.
O teorema dos senos visto acima, permite a dedução de uma importante fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer. Seja o triângulo ABC da figura abaixo, de altura h.
Sabemos que a área de um triângulo é igual ao semiproduto da base pela altura:
S = 1/2 . base . altura . Logo,
S = 1/2 . a . h
Mas, no triângulo retângulo CAH, podemos escrever:
sen C = cateto oposto/hipotenusa = h/b Þ h = b.senC
Substituindo na fórmula da área acima, vem:
S = 1/2.a.b.senC
Mas, sabemos do teorema dos senos que
c/senC = 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Logo: senC = c / 2R
Portanto, S = 1/2.a.b.c/2R = abc/4R.
Temos então a seguinte fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer:
onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo e R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo e S a área do triângulo.
Já sabemos da Geometria Plana, que a área de um triângulo ABC, cujos lados medem respectivamente a, b e c, é dada pela fórmula:
onde p é o semiperímetro do triângulo ou seja: p = (a+b+c) / 2
Esta fórmula é conhecida comumente como Fórmula de Heron.
Heron de Alexandria – célebre geômetra grego. Viveu no século 1º da era cristã.
Assim, substituindo o valor de S da fórmula anterior, na fórmula S=abc/4R, encontraremos uma fórmula útil para o cálculo do raio da circunferência circunscrita a um triângulo qualquer de lados a, b e c:
Temos: S = abc / 4R Þ R = abc / 4S
Portanto,
Onde p, conforme vimos acima é o semiperímetro dado por p = (a+b+c)/2.
Exemplo de aplicação: Vestibular da Univ. Federal do Ceará/1990
Seja R o raio do círculo circunscrito ao triângulo cujos lados medem 10m, 17m e 21m. Determine em metros, o valor de 8R.
Solução:
Temos: a = 10, b = 17 e c = 21 Þ p = (10+17+21) / 2 = 24
Portanto, substituindo diretamente na fórmula acima, fica:
Como o problema solicita o valor de 8R, vem: 8R = 8.170/16 = 170/2 = 85.
Portanto, 8R = 85, que é a resposta do problema.
Resposta: 85m
| Teorema dos Cossenos - TC |
Considere o triângulo ABC na figura abaixo:
 AH = altura do triângulo em relação à base CB.
Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a.
Podemos escrever no triângulo AHB:
AH2 + HB2 = c2 (Teorema de Pitágoras).
Analogamente, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo AHC:
b2 = CH2 + AH2
Mas, CH = CB – HB = a – HB
Portanto: b2 = (a - HB)2 + AH2
b2 = a2 – 2.a.HB + HB2 + AH2
Observe que HB2 + AH2 = AB2 = c2
Então fica: b2 = a2 + c2 – 2.a.HB
No triângulo retângulo AHB, podemos escrever:
cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/c
Daí, HB = c.cosB
Substituindo, fica:
b2 = a2 + c2 – 2.a.c. cosB
Da fórmula acima, concluímos que num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.
Isto é o Teorema dos cossenos – TC.
Analogamente, poderemos escrever:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC
Em resumo:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC
Exemplo 1: Num triângulo dois lados de medidas 4cm e 8cm formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do outro lado?
Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:
x2 = 42 + 82 – 2.4.8.cos60º = 16 + 64 – 2.4.8.(1/2), já que cos60º = 1/2.
x2 = 16 + 64 – 32 = 48 = 16.3; logo, poderemos escrever:
x2 = 42.3 Þ x =4Ö 3 cm
Exemplo 2: Determine o comprimento do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R.
R = raio do círculo.
Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de medidas congruentes, ou seja de medidas iguais. Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado PQ do hexágono regular será dado pelo teorema dos cossenos por:
PQ2 = R2 + R2 – 2.R.R.cos60º = 2R2 – R2 (Obs: cos60º = 1/2)
PQ2 = R2, de onde conclui-se: PQ = R.
CONCLUSÃO:
A medida do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R é igual a R. Esta é uma propriedade importantíssima dos hexágonos regulares.
Equações Trigonométricas I |
1 – Introdução: as equações elementares
Equação trigonométrica elementar, é qualquer equação da forma
sen x = sen a, cos x = cos a e tg x = tg a, onde x é um arco trigonométrico incógnita – a ser determinado – e a um arco trigonométrico qualquer.
Via de regra, qualquer equação trigonométrica não elementar, pode ser transformada numa equação elementar, através do uso das relações trigonométricas usuais.
Nota: os arcos a e a + k.2p onde k é um número inteiro, possuem as mesmas extremidades inicial e final, pois diferem entre si, por um número inteiro de voltas, ou seja:
a + k.2p - a = k.2p
Este resultado é importante e, será utilizado para desenvolvimento do item 1.1 a seguir.
Observação: 2p = 360º = uma volta completa.
Para a solução das equações trigonométricas elementares, vamos estabelecer as relações fundamentais a seguir:
1.1 – Arcos de mesmo seno
Já sabemos que sen (p - a) = sen a.
Usando o conceito contido na nota acima, sendo x um arco trigonométrico, as soluções gerais da igualdade acima serão da forma:
x = (p - a) + k.2p ou x = a + k.2p.
x = p + 2k.p - a ou x = a + k.2p
x = (2k + 1)p - a ou x = 2kp + a
Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo
sen x = sen a, será x = (2k + 1)p - a ou x = 2kp + a.
Exemplo: seja a equação elementar sen x = 0,5.
Como 0,5 = sen 30º = sen p/6, vem, utilizando o resultado geral obtido acima:
sen x = sen p/6, de onde conclui-se:
x = (2k + 1).p - p/6 ou x = 2kp + p/6, com k inteiro, que representa a solução genérica da equação dada. Fazendo k variar no conjunto dos números inteiros, obteremos as soluções particulares da equação.
Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremos por mera substituição na solução genérica encontrada acima,
x = - p/6 ou x = p/6; fazendo k = 1, obteremos
x = 17p/6 ou x = 13p/6, e assim sucessivamente. Observe que a equação dada, possui um número infinito de soluções em R – conjunto dos números reais.
Poderemos escrever o conjunto solução da equação dada na forma geral:
S = {x| xÎR; x =(2k + 1)p - p/6 ou x = 2kp + p/6, k Î Z}
Poderemos também listar os elementos do conjunto solução:
S = { ..., - p/6, p/6, 17p/6, 13p/6, ... }
1.2 – Arcos de mesmo cosseno
Já sabemos que cos (-a) = cos a.
Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as soluções gerais da igualdade acima:
x = (-a) + 2kp ou x = a + 2kp, sendo k um número inteiro.
Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo
cos x = cos a, será dada por:
x = 2kp + a ou x = 2kp - a, sendo k um inteiro.
1.3 – Arcos de mesma tangente
Já sabemos que tg(p + a)= tg a.
Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as soluções gerais da igualdade acima:
x = (p + a) + 2kp ou x = a + 2kp
Arrumando convenientemente, podemos escrever:
x = (2k + 1)p + a ou x = 2kp + a, sendo k um número inteiro.
Observando que 2k é um número par e 2k + 1 é um número ímpar, para k inteiro,percebemos que poderemos reunir as duas expressões acima numa única: x = kp + a.
Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo
tg x = tg a , será dada por x = kp + a .
Assim, teremos em resumo:
sen x = sen a Û x = (2k + 1)p - a ou x = 2kp + a
cos x = cos a Û x = 2kp + a ou x = 2kp - a
tg x = tg a Û x = kp + a
sendo k um número inteiro.
Nota: O símbolo Û significa: equivale a.
O uso das igualdades acima, permite resolver qualquer equação trigonométrica elementar que possa ser apresentada.
Como qualquer equação trigonométrica pode ser reduzida a uma equação elementar através de transformações trigonométricas convenientes, as igualdades acima são básicas para a resolução de qualquer equação trigonométrica. Este é um aspecto muito importante.
2 – Equações trigonométricas resolvidas
Resolva as seguintes equações trigonométricas:
a) 2cosx – 3secx = 5
Solução:
Lembrando que secx = 1/cosx, vem, por substituição:
2.cosx – 3.(1/cosx) – 5 = 0
2.cosx – 3/cosx – 5 = 0
Multiplicando ambos os membros por cosx ¹ 0, fica:
2.cos2x – 3 – 5.cosx = 0
Arrumando convenientemente, teremos:
2.cos2x – 5.cosx – 3 = 0.
Vamos resolver a equação do segundo grau em cosx. Teremos:
Portanto, cosx = 3 ou cosx = -1/2.
A equação cosx = 3 não possui solução, já que o cosseno só pode assumir valores de –1 a +1.
Já para a equação cosx = -1/2, teremos:
cosx = -1/2 = cos120º = cos(2p/3)
Logo,
cosx = cos(2p/3)
Do resultado obtido no item 1.2 acima, poderemos escrever as soluções genéricas da equação dada:
x = 2kp + 2p/3 ou x = 2kp - 2p/3
Estas soluções podem ser reunidas na forma:
x = 2kp ± 2p/3.
Logo, o conjunto solução da equação proposta será:
S = {x | x = 2kp ± 2p/3, k inteiro}.
b) 5tg2x – 1 = 7 secx
Resposta: x = kp ou x = kp + p/4.
c)3.senx - Ö3.cosx = 0
Solução:
Teremos: 3.senx = Ö3.cosx
Dividindo ambos os membros por cosx ¹ 0, fica:
3.senx/cosx = Ö3.cosx/cosx = Ö3.
3.tgx = Ö3
tgx = Ö3/3 = tg30º = tg(p/6)
Vamos então resolver a equação elementar
tgx = tg(p/6)
Do exposto no item 1.3 acima, vem imediatamente que:
x = kp + p/6.
d) Ö3.senx – cosx = 0.
Resposta: x = kp + p/6.
e) tgx + cotgx = 2
Solução:
Substituindo tgx e cotgx pelos seus valores expressos em função de senx e cosx, vem:
senx/cosx + cosx/senx = 2
Efetuando a operação indicada no primeiro membro, vem:
(sen2x + cos2x)/(senx.cosx) = 2
Como sen2x + cos2x = 1, fica:
1/senx.cosx = 2
1 = 2.senx.cosx
1 = sen2x
sen2x = 1 = sen90º = sen(p/2).
sen2x = sen(p/2)
Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1, vem:
2x = (2k+1)p - p/2 OU 2x = 2kp + p/2.
Dividindo ambas as expressões por 2, fica:
x = (2k+1).p/2 - p/4 OU x = kp + p/4.
Simplificando a primeira expressão, vem:
x = kp + p/4 OU x = kp + p/4.
Portanto, x = kp + p/4, que é a solução procurada.
f) tgx + cotgx = 4/Ö3
Resposta: x = kp + p/3 OU x = kp + p/6.
g) 4(sen3x – cos3x) = 5(senx – cosx)
Solução:
Lembrando da identidade:
A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2), poderemos escrever:
4(senx – cosx)(sen2x + senx.cosx + cos2x) = 5(senx - cosx)
Como sen2x + cos2x = 1, vem, substituindo:
4(senx – cosx)(1 + senx.cosx) = 5(senx – cosx)
Simplificando os termos em comum, vem:
4(1 + senx.cosx) = 5
1 + senx.cosx = 5/4
senx.cosx = 5/4 – 1 = 5/4 – 4/4 = 1/4
senx.cosx = 1/4
Multiplicando ambos os membros por 2, fica:
2.senx.cosx = 2(1/4)
2.senx.cosx = 1/2
Como já sabemos da Trigonometria que 2.senx.cosx = sen 2x, vem:
sen2x = 1/2 = sen30º = sen(p/6)
sen2x = sen(p/6)
Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1 acima, fica:
2x = (2k+1)p - p/6 OU 2x = 2kp + p/6
Dividindo ambas as expressões por 2, vem:
x = (2k+1).p/2 - p/12 OU x = kp + p/12
Simplificando a primeira expressão, fica:
x = kp + 5p/12 OU x = kp + p/12, que é a solução procurada.
Portanto,
S = {x | x = kp + 5p/12 ou x = kp + p/12, k inteiro}.
h) Resolva a mesma equação anterior, no conjunto universo
U = [0, p/2].
Resposta: S = {5p/12, p/12}.
| Equações Trigonométricas II |
FUVEST – O conjunto solução da equação
 é:
A) {p/2 + kp ; k Î Z}
B) {p/4 + kp ; k Î Z}
C) {kp ; k Î Z}
D) {kp/2; k Î Z}
E) {kp/4 ; k Î Z}
Solução:
Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus obteremos:
-sen2x.senx.senx + sen2x.cosx.cosx = 0
sen2x.cosx.cosx – sen2x.senx.senx = 0
Colocando sen2x em evidencia, vem:
sen2x(cosx.cosx – senx.senx) = 0
sen2x.(cos2x – sen2x) = 0
Lembrando da Trigonometria que cos2x – sen2x = cos2x, vem:
sen2x.cos2x = 0
Deveremos ter então:
sen2x = 0 OU cos2x = 0.
Para resolver equações trigonométricas desse tipo, onde o segundo membro é nulo, poderemos raciocinar da seguinte forma:
O seno de um arco se anula para os arcos da forma kp, onde k é um número inteiro, ou seja, para os arcos: 0, p, 2p, ...
Portanto, para que tenhamos sen2x = 0, deveremos ter
2x = kp, de onde vem imediatamente que x = kp/2, com k Î Z.
Analogamente, sabemos que o cosseno de um arco se anula para os arcos da forma kp + p/2, onde k é um número inteiro, ou seja, para os arcos p/2, 3p/2, ...
Assim, para que tenhamos cos2x = 0, deveremos ter
2x = kp + p/2, de onde vem imediatamente que
x = kp/2 + p/4, com k Î Z.
Teremos então, que as soluções procuradas serão:
x = kp/2 OU x = kp/2 + p/4, com k Î Z.
Atribuindo valores inteiros a k em ambas soluções, obteremos:
k = 0 Þ x = 0 ou x = p/4
k = 1 Þ x = p/2 ou x = 3p/4
k = 2 Þ x = p ou x = 5p/4
............................
............................
Resumidamente e ordenadamente, teremos que x assumirá os valores:
..., 0, p/4, p/2, p, 3p/4, 5p/4, ...
Professor Ozires Costa
Licenciatura em Matemática
Universidade Federal do Ceará
MSN: ozirescosta@hotmail.com
Fone: (85) 86024149 ou (85) 99533425
E-mail de Trabalho:ozirescosta@globo.com
www.professorozires.page.tl
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