Logaritmos

1 - INTRODUÇÃO

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Assim, por exemplo, como sabemos que 4² = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log₄16 = 2.

Outros exemplos:
15² = 225, logo: log₁₅225 = 2
6³ = 216, logo: log₆216 = 3
5⁴ = 625, logo: log₅625 = 4
7⁰ = 1, logo: log₇1 = 0

2 - DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação b^x = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: log_bN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:
a) log₂8 = 3 porque 2³ = 8.
b) log₄1 = 0 porque 4⁰ = 1.
c) log₃9 = 2 porque 3² = 9. 
d) log₅5 = 1 porque 5¹ = 5.

Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log₁₀N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10^x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional 
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, 
log_eM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:
a) log100 = 2 porque 10² = 100. 
b) log1000 = 3 porque 10³ = 1000. 
c) log2 = 0,3010 porque 10^0,3010 = 2. 
d) log3 = 0,4771 porque 10^0,4771 = 3. 
e) ln e = 1 porque e¹ = e = 2,7183... 
f) ln 7 = log_e7

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .

Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa. 
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que 
10^1,6532 = 45.

3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log₃(-9) , log₂0 , etc.

4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja: 
log_b1 = 0 porque b⁰ = 1.

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: log_bb = 1 , porque b¹ = b.

P3) log_bb^k = k , porque b^k = b^k .

P4) Se log_bM = log_bN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

P5) b^logbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.

3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
log_b(M.N) = log_bM + log_bN

Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.

P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
log_b(M/N) = log_bM - log_bN

Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10^-1,6990 = 0,02.

Da mesma forma podemos exemplificar: 
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.

Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).

Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
colog_bN = log_b(1/N) = log_b1 - log_bN = 0 - log_bN = - log_bN.
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA

Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: log_bM^k = k.log_bM.
Exemplo: log₅25⁶ = 6.log₅25 = 6.2 = 12.

P4 - MUDANÇA DE BASE

Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Exemplos: 
a) log₄16 = log₂16 / log₂4 (2 = 4:2)
b) log₈64 = log₂64 / log₂8 (2 = 6:3)
c) log₂₅125 = log₅125 / log₅25 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 25^1,5 = 125.

Notas:
1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.

2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) log_bN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada). 
b) log_ba . log_ab = 1

Exemplos: 
a) log₃7 . log₇3 = 1 
b) log₂3 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850

4 - A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Considere a função y = a^x , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condições, a^x é um número positivo, para todo x Î R, onde R é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais positivos por R₊^* , poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R ® R₊^* ; y = a^x , 0 < a ¹ 1

Esta função é bijetora, pois:
a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.

Vamos determinar a função inversa da função y = a^x , onde 0 < a ¹ 1.
Permutando x por y, vem:
x = a^y  y = log_ax

Portanto, a função logarítmica é então:
f: R₊^* ® R ; y = log_ax , 0 < a ¹ 1.

Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = a^x ) e logarítmica 
( y = log_ax ), para os casos a > 1 e 0 < a ¹ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.

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Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.
2 - para 0 < a ¹ 1, elas são DECRESCENTES.
3 - o domínio da função y = log_ax é o conjunto R₊^* .
4 - o conjunto imagem da função y = log_ax é o conjunto R dos números reais.
5 - o domínio da função y = a^x é o conjunto R dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = a^x é o conjunto R₊^* .
7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

Vamos agora, resolver os seguintes exercícios sobre logaritmos:

1 - Se S é a soma das raízes da equação log² x - logx - 2 = 0 , então calcule o valor 
de 1073 - 10S.

SOLUÇÃO:
Façamos logx = y; vem:
y² - y - 2 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.
Portanto,
logx = 2 OU logx = -1

Como a base é igual a 10, teremos:
log₁₀x = 2  x = 10² = 100
log₁₀x = -1  x = 10^-1 = 1/10

As raízes procuradas são, então, 100 e 1/10.
Conforme enunciado do problema, teremos:
S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10

Logo, o valor de 1073 - 10S será:
1073 - 10(1001/10) = 1073 - 1001 = 72
Resposta: 72

2 - Calcule o valor de y = 6^x onde x = log₃2 . log₆3 .

SOLUÇÃO:
Substituindo o valor de x, vem:
y = 6^log₃^{2 . log}₆³ = (6^log₆³)^log₃² = 3^log₃² = 2
Na solução acima, empregamos a propriedade b^log_b^M = M , vista anteriormente.
Resposta: 2

3 - UEFS - Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 5²⁰ é:
a) 13
b) 14 
c) 19
d) 20 
e) 27

SOLUÇÃO:
Seja n = 5²⁰ . Podemos escrever, usando logaritmo decimal:
log n = log 5²⁰ = 20.log5

Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:
log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699

Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.
Portanto, a resposta correta é a letra B.

4 - UFBA - Considere a equação 10^{x + 0,4658} = 368. Sabendo-se que 
log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.

SOLUÇÃO: 
Temos: 10^{x + 0,4658} = 368
Daí, podemos escrever:
log 368 = x + 0,4658  x = log 368 - 0,4658
Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:
log(368/100) = 0,5658

Logo, log 368 - log 100 = 0,5658  log 368 - 2 = 0,5658 , já que 
log 100 = 2 (pois 10² = 100).
Daí, vem então:
log 368 = 2,5658

Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Resposta: 21

5 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.

SOLUÇÃO:
Podemos escrever: 
logN = 2 + log2 - log3 - log5²
logN = 2 + log2 - log3 - log25
logN = 2 + log2 - (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logN = (log100 + log2) - (log3 + log25)
logN = log(100.2) - log(3.25)
logN = log200 - log75
logN = log(200/75)

Logo, concluímos que N = 200/75
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3
Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Resposta: 30N = 80

Agora, resolva estes:

1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 5³ . , então o logx é:
*a) 2,997 
b) 3,398 
c) 3,633 
d) 4,398 
e) 5,097

2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x² -7x + 14) = 2log2 é:
01) 5
02) 7 
*03) 10 
04) 14 
05) 35

3 - UCSal - Se 12ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ . 8 , então log₂ n é igual a:
a) -2 
*b) -1 
c) 1/2 
d) 1 
e) 2

4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4) 
b) (-4,3/2) 
c) (-4,2) 
*d) (3/2,4) 
e) (3/2,10)

5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log₂ (x-3) + log₂ (x-2) = 1.
Resp: 4

6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.
Resp: 90

7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:
a) 3/2 
b) 4/3 
c) 2 
d)5 
*e) 5/2

8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x² - y² ) é igual a:
a) 100 
*b) 2 
c) 25 
d) 12,5 
e) 1000
Sugestão: observe que x² - y² = (x - y) (x + y)

Logaritmo no Ceará

UECE – 1989) Se x₁ e x₂ são as raízes da equação 3 ^2log_x³ = x ^log_x ^3x , então 9(x₁ + x₂) é igual a:
A) 22 
B) 24 
C) 28 
D) 26 
E) 29

Solução:

Se necessário, revise logaritmos.

Nota: UECE – Universidade Estadual do Ceará

Lembrando uma das propriedades imediatas dos logaritmos: 
a ^log_a^b = b , para 0 < a ¹ 1 e b > 0 , vem imediatamente que:
x ^log_x ^3x = 3x.  Logo, a equação dada fica:  3 ^2log_x³ = 3x

Aplicando a definição de logaritmo, segundo a qual se aⁿ = b então n = log_ab, teremos então: 
2log _x3 = log₃ 3x

Usando a propriedade de logaritmo de uma potência, ou seja, log _b aⁿ = n.log _b a , vem:

log _x3² = log₃ 3x ou seja, log _x9 = log₃3x

Lembrando que log _b a = log a / log b, onde log a e log b são os logaritmos decimais de
a e b respectivamente, poderemos escrever:

log 9 / log x = log 3x / log 3

Como log 3x = log 3 + log x (pela propriedade de logaritmo de produto) , vem:

log 9 / log x = (log 3 + log x) / log 3

Já sabemos que se a / b = c / d então a . d = b . c (propriedade fundamental das proporções).

Então, poderemos escrever:
log 9 . log 3 = log x (log 3 + log x)
log 3² . log 3 = log x (log 3 + log x)
2.log3 . log3 = log x (log 3 + log x)
2.(log3)² = log3.logx + (logx)²

Igualando a zero, fica: (logx)² + log3.logx – 2.(log3)² = 0 , que é uma equação do segundo grau em logx, da forma ay² + by + c = 0 onde y = logx, a = 1, b = log3 e c = - 2.(log3)² .
Aplicando a fórmula de Bhaskara para a solução da equação do segundo grau
ay² + by + c = 0 , vem:

y = (-b ± ÖD) / 2 a onde D = b² – 4ac (conhecido como discriminante) .

Teremos então D = (log3)² – 4.1.[- 2(log3)² ] = (log3)² + 8(log3)² = 9.(log3)²

Então, substituindo os valores conhecidos de D, a, b e c fica:

y = [- log3 ± Ö 9(log3)²] / 2.1 = [ -log3 ± 3.log3] / 2
Portanto as duas raízes serão:
y₁ = [-log3 + 3log3] / 2 = 2log3 / 2 = log3
y₂ = [-log3 – 3log3] / 2 = -4log3 / 2 = -2log3

Como y = logx , vem substituindo:
logx = log3 x = 3
logx = -2log3 = log 3 ^–2 = log (1/3²) = log (1/9)  x = 1/9.
Nota: lembre-se que log bⁿ = n.logb e que a^-n = 1/aⁿ.

Ora, sendo x₁ = 3 e x₂ = 1/9, o valor procurado 9(x₁ + x₂) será então igual a:
9(3 + 1/9) = 9.3 + 9.1/9 = 27 + 1 = 28, o que nos leva tranqüilamente à alternativa C.


UFC – 1991 – 2ª fase) Sejam x e y números reais satisfazendo às equações:

x²y + y² = 12x e log_xy + log_yx = 2, determine o valor do produto xy.

Solução:

Nota: UFC – Universidade Federal do Ceará

Como já sabemos que log_ba = loga / logb, poderemos escrever:
(logy / logx) + (logx / logy) = 2

Efetuando a soma indicada no primeiro membro, obteremos:
[(logx)² + (logy)²] / logx.logy = 2

Daí vem: (logx)² + (logy)² = 2.logx.logy
Igualando a zero, fica:
(logx)² + (logy)² – 2.logx.logy = 0

Arrumando convenientemente: (logx)² – 2.logx.logy + (logy)² = 0

Repare que o primeiro membro é o quadrado de uma soma da forma a² – 2ab + b² que sabemos ser igual a (a – b)² (produto notável).

Como a² – 2ab + b² = (a – b)² , é fácil concluir que se (logx)² – 2.logx.logy + (logy)² = 0,

então logx – log y = 0, de onde tiramos logx = logy  x = y. 

Substituindo então y por x (já que são iguais) na segunda equação dada no problema
x² y + y² = 12x   virá:   x².x + x² = 12x

Desenvolvendo e simplificando, vem:
x³ + x² – 12x = 0
Colocando x em evidencia, teremos: x(x² + x – 12) = 0

Daí resulta que x = 0 ou x² + x – 12 = 0.
Observe que como temos logx, o valor x = 0 não serve ao problema , já que não existe log0.

Resolvendo a equação do segundo grau  x² + x – 12 = 0, obteremos as raízes x = 3 ou 
x = -4. Como temos logx, o valor x = -4 não serve ao problema, pois não existe logaritmo de número negativo. A solução é portanto x = 3. Como foi visto que x = y, teremos também y = 3. Portanto, o produto xy procurado será igual a xy = 3.3 = 9.

Agora resolva este:

UECE – 1991) Se x₁ e x₂ são as raízes da equação log₃(9 ^x + 81) = 1 + x + log₃10, então x₁ + x₂ é igual a:
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 8

Resposta: B

Dica: passe log₃10 para o primeiro membro e aplique a propriedade de logaritmo de um quociente: 
log a – log b = log (a/b). Em seguida aplique a definição de logaritmo, ou seja,
se log_ba = n então bⁿ = a . Se tudo correr bem, você chegará a uma equação do tipo

(3^x)² – 30.3^x + 81 = 0 . 

Faça 3^x = y, obtendo a equação do segundo grau y² – 30y + 81 = 0, cujas raízes são
y = 27 ou y = 3 e, daí virão os valores x₁ e x₂ procurados.