Cofator

  
 Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento a_ij de uma matriz quadrada de ordem n o número A_ij tal que  A_ij = (-1)^i+j . MC_ij .

   Veja:

a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a₁₁ e a₁₂ da matriz M são:

b) Sendo , vamos calcular os cofatores A₂₂, A₂₃ e A₃₁:

Teorema de Laplace

  
 O determinante de uma matriz quadrada M = [a_ij]_mxn  pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

   Assim, fixando , temos:

em que  é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, .

Regra de Sarrus

 
  O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

   Acompanhe como aplicamos essa regra para .

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3

   Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Propriedades dos determinantes

   Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

P₁ ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

Exemplo:

P₂) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₃) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₄) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Exemplos:

 Teorema de Jacobi:

o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

P₆) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

P₇) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:

P₈) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

Exemplo:

P₉) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

P₁₀) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .

Exemplos:

P₁₁) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como: 

Exemplo:

P₁₂) 

Exemplo:

 

Professor Ozires Costa
   Licenciatura em Matemática
   Universidade Federal do Ceará
   MSN: ozirescosta@hotmail.com
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