Binômio de Newton

    Introdução

    Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
    Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

    Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)⁴ = (a + b)³ (a+b) = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) (a+b)

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

 

    De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência  a partir da anterior, ou seja, de .
    Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
    Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido comobinômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

 

Coeficientes Binomiais

    Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente binomial de classep, do número n, o número , que indicamos por  (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

    O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o  denominador. Podemos escrever:

      É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

   Exemplos:

 

Propriedades dos coeficientes binomiais

1ª)	Se n, p, k   e p + k = n então

   Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.

   Exemplos:

 

2ª)	Se n, p, k   e p  p-1  0 então

   Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).

   Exemplos:

 

Triângulo de Pascal

    Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
    Por exemplo, os números binomiais  , ,  e  estão na linha 3 e os números binomiais , , , , ..., , ... estão na coluna 1.

    Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

 

Construção do triângulo de Pascal

   
Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.

2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.

3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele
      que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação
      de Stifel).

        Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:

 

Propriedade do triângulo de Pascal

P1   Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.

   De fato, esses binomiais são complementares.

 

P2   Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é .

              

   De modo geral temos:

 

P3   Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.

 

P4    Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.

 

Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton

  

Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton. Além disso:

• quando n = 0 temos 
• quando n = 1 temos 
• quando n = 2 temos 
• quando n = 3 temos 
• quando n = 4 temos 

 

    Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:

   De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:

    Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)ⁿ possui     n + 1 termos.

 

Fórmula do termo geral do binômio

   Observando   os   termos   do  desenvolvimento   de   (a + b)ⁿ,   notamos  que  cada    um   deles   é   da   forma .

• Quando p = 0 temos o 1º termo: 

• Quando p = 1 temos o 2º termo: 

• Quando p = 2 temos o 3º termo: 

• Quando p = 3 temos o 4º termo: 

• Quando p = 4 temos o 5º termo: 
  ..............................................................................

   Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por:

 

  Professor Ozires Costa