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Professor Ozires Costa : Assunto - Matrizes
 
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Matrizes

Introdução

   O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.

   A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

 

 Química

Inglês

Literatura

Espanhol

A

8

7

9

8

B

6

6

7

6

C

4

8

5

9

   Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

   Vamos agora considerar uma tabela de números  dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

    Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

   Tabelas com linhas e colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

   Veja mais alguns exemplos:

  • é uma matriz do tipo 2 x 3

  • é uma matriz do tipo 2 x 2

 

Notação geral

   Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

   Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

   Na matriz , temos:

   Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.
   

Denominações especiais

   Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

  • Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
       

  • Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1
       

  • Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz  é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

   Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

    Veja:

Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3  + 1 = 3 + 1)

  • Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.

Por exemplo, .
   

  • Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

  • Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por Insendo n a ordem da matriz. Por exemplo:

Assim, para uma matriz identidade .
   

  • Matriz transposta: matriz At  obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

    Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.

   Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.
   

    • Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,

 é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre       a ij = a ij.
   

  • Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, .

 

Igualdade de matrizes

   Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

.

 

Operações envolvendo matrizes

Adição

   Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas matrizes a matriz , tal que Cij = aij + bij , para todo :

A + B = C

Exemplos:


  •    

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades

   Sendo AB e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

Subtração

   Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A - B = A + ( - B )

Observe:

  

 

Multiplicação de um número real por uma matriz

   Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz Bdo tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:

B = x.A

    Observe o seguinte exemplo:

 

Propriedades

   Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A

b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
   

 

Multiplicação de matrizes

   O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.

   Assim, o produto das matrizes A = ( aijm x p  e B = ( bijp x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

   Vamos multiplicar a matriz  para entender como se obtém cadaCij:

  • 1ª linha e 1ª coluna

   

  • 1ª linha e 2ª coluna

   

  • 2ª linha e 1ª coluna

   

  • 2ª linha e 2ª coluna

   

   Assim, .

   Observe que:

   Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

   Vejamos outro exemplo com as matrizes :


   

    Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

     A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

  • Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5

  • Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto

  • Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
       

Propriedades

   Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . I= In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n

   Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.

   
Matriz inversa

   Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 .  



 

Professor Ozires Costa
   Licenciatura em Matemática
   Universidade Federal do Ceará
   MSN: ozirescosta@hotmail.com
          Fone: (85) 86024149 ou (85) 99533425    
        E-mail de Trabalho:ozirescosta@globo.com 
                                  www.professorozires.page.tl                      
 



 

 

 
 
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