é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij.
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

.
Operações envolvendo matrizes
Adição
Dadas as matrizes
, chamamos de soma dessas matrizes a matriz
, tal que Cij = aij + bij , para todo
:
Exemplos:
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
Subtração
Dadas as matrizes
, chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:
Observe:
Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz Bdo tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
Observe o seguinte exemplo:

Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA
d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Vamos multiplicar a matriz
para entender como se obtém cadaCij:




Assim,
.
Observe que:

Portanto,
.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
Vejamos outro exemplo com as matrizes
:


Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
-
Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5
-
Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto
-
Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
Propriedades
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )
b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C
c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n
Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.
Matriz inversa
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 .
Professor Ozires Costa
Licenciatura em Matemática
Universidade Federal do Ceará
MSN: ozirescosta@hotmail.com
Fone: (85) 86024149 ou (85) 99533425
E-mail de Trabalho:ozirescosta@globo.com
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