z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
 

Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
 

Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...

Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:

x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z
 

Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)^1/2, então:
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i².i = -1.i = -i
i⁴ = i².i²=-1.-1=1
i⁵ = i⁴. 1=1.i= i
i⁶ = i⁵. i =i.i=i²=-1
i⁷ = i⁶. i =(-1).i=-i ...... 

Observamos que no desenvolvimento de iⁿ (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos iⁿ basta calcularmos i^r onde r é o resto da divisão de n por 4.

Exemplo:
i⁶³ => 63 / 4 dá resto 3, logo i⁶³=i³=-i

Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁.z₂ = a.c + adi + bci + bdi²
z₁.z₂= a.c + bdi² = adi + bci
z₁.z₂= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i²= -1
 

Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z^-) ==> z^-= a-bi





Exercícios Resolvidos

1 - Sejam os complexos z₁=(2x+1) + yi e z₂=-y + 2i
Determine x e y de modo que z₁ + z₂ = 0
Temos que:
z₁ + z₂ = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que: 
z = x + (x+2)i + 2i²
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)? 
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z^- = 11/58 - 13i/58

4 - Os módulos de z₁ = x + 20^1/2i e z₂= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x? 
Então, |z₁= (x² + 20)^1/2 = |z₂ = [(x-2)² + 36}^1/2
Em decorrência, 
x² + 20 = x² - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5

5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos: 
z = [(1+i). -i] / -i² = (-i -i²) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que: 
r = (1 + 1)^1/2 = 2^1/2
sen t = -1/2^1/2 = - 2^1/2 / 2
cos t = 1 / 2^1/2 = 2^1/2 / 2 
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por: 
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 2^1/2 ( cos 315º + i sen 315º )

Exercícios Resolvidos:

1) Sendo z = (m² - 5m + 6) + (m² - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.

Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m² - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.

2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)¹² .

Solução: Observe que (1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável 
(1 + i)² = 1² + 2.i + i² = 1 + 2i -1 = 2i  (1 + i)² = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
(1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ = (2i)⁶ = 2⁶.i⁶ = 64.(i²)³ = 64.(-1)³ = - 64. 
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a-64.

3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)²⁰⁰ .

Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)²]¹⁰⁰ . Desenvolvendo o produto notável 
(1 - i)² = 1² - 2.i + i² = 1 - 2i -1 = - 2i  (1 - i)² = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
z = (- 2i)¹⁰⁰ = (- 2)¹⁰⁰. i¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ . i¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ . ( i² )⁵⁰ = 2¹⁰⁰. (- 1)⁵⁰ = 2¹⁰⁰ . 1 = 2¹⁰⁰. 
Logo, o número complexo z é igual a 2¹⁰⁰ e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.

Regra : Para dividir um número complexo z por outro w ¹ 0 , basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador .

Ex:  =  =  = 0,8 + 0,1 i

Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios:

1 - Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

2 - Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ , 
calcule Im(z).w + Im(w).z .

3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z +  = 12 + 6i é:

4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:

6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é:

7) Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.
Resp: 3
Clique aqui para ver a solução.

8) Calcule [(1+i)⁸⁰ + (1+i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰
Resp: 1+2i

9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b² - 2a. 
Resp: 50

10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0 , então calcule o valor de a.
Resp: 32i

11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0.

12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i , é:
a)-3i 
b)1-i 
c) 5/2 + (5/2)i 
d) 5/2 - (3/2)i 
e) ½ - (3/2)i

13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i⁷ + i⁵ + ( i³ + 2i⁴ )² , obtêm-se:
a) -1+2i 
b) 1+2i 
c) 1 - 2i 
d) 3 - 4i 
e) 3 + 4i

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10 
b) 5 e 10 
c) 7 e 9 
d) 5 e 9 
e) 0 e -9

15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7 
c) 13 
d) 7 
e) 5

16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
a) 16 
b) 161 
c) 32 
d) 32i 
e) 32+16i

17 - UCSal - Sabendo que (1+i)²² = 2i, então o valor da expressão 
y = (1+i)⁴⁸ - (1+i)⁴⁹ é:
a) 1 + i 
b) -1 + i 
c) 2²⁴ . i 
d) 2⁴⁸ . i 
e) -2²⁴ . i

GABARITO:

1) -3 - i    
2) -3 + 18i   
3) 4 + 3i   
4) 3/2   
5) -2 + 18i   
6) i   
7) 3   
8) 1 + 2i  
9) 50   
10) 32i   
11) -1 - i 
12) B    
13) D    
14) A    
15) A   
16) A    
17) E

 

 

                                                              www.professorozires.page.tl