Geometria Espacial

Relação de Euler

      Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V - A + F = 2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.

Observe os exemplos:

 

Poliedros platônicos

      Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;

c) toda face tiver o mesmo número de arestas;

d) for válida a relação de Euler.

       Assim, nas figuras acima, o  primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.

 

Prismas

       Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo Rcontido em  e uma reta r que intercepta , mas não R:

      Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :

      Assim, temos:

      Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes  paralelos a r.

 

Elementos do prisma

     
 Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases:as regiões poligonais R e S

• altura:a distância h entre os planos 

• arestas das bases:os lados  ( dos polígonos)

• arestas laterais:os segmentos 

• faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Classificação

      Um prisma pode ser:

• reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Secção

      Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.

        Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).

 

Áreas

      Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (A_F ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral ( A_L ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

      No prisma regular, temos:

A_L = n . A_F (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (A_B): área de um dos polígonos das bases;

d) área total ( A_T): soma da área lateral com a área das bases

A_T = A_L + 2A_B

      Vejamos um exemplo.

      Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

     

Paralelepípedo

      Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

         Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo

      Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

      Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medidac; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

 

Diagonais da base e do paralelepípedo

      Considere a figura a seguir:

      Na base ABFE, temos:

      No triângulo AFD, temos:

Área lateral

      Sendo A_L a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

A_L= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =A_L = 2(ac + bc)

   
Área total

      Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

 

Volume

      Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:

      Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

      Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base A_B pela medida da altura h:

 

Cubo

      Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.

Diagonais da base e do cubo

      Considere a figura a seguir:

     Na base ABCD, temos:

  No triângulo ACE, temos:

Área lateral

      A área lateral A_L é dada pela área dos quadrados de lado a:

Área total

      A área total A_T é dada pela área dos seis quadrados de lado a:

Volume

      De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:

V= a . a . a = a³

Generalização do volume de um prisma

      Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.

      Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano, paralelo a , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

        Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = A_Bh.

       Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:

Cilindro

      Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,, um círculo R contido em  e uma reta r que intercepta , mas não R:

      Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :

      Assim, temos:

      Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.

   
Elementos do cilindro

      Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases: os círculos de centro O e O'e raios r

• altura: a distância h entre os planos 

• geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r
  
  

  Cilindro
     

  Classificação do Cilindro

      
    Um cilindro pode ser:

  • circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;

  • circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

        Veja:

  

        O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado  gera o cilindro a seguir:

  

        A reta  contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

   

  Secção

        Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

  

        Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

  
  

  Áreas

        Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:

  a) área lateral (A_L)

       Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

  

        Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :

   

  b) área da base ( A_B):área do círculo de raio r

  c) área total ( A_T): soma da área lateral com as áreas das bases

   

   Volume

        Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.

         Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

  

  

   

           Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = A_Bh.

           Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:

  Vcilindro = ABh

            No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ;

  portanto seu volume é:

  

  
  
  
  

  Cilindro eqüilátero

        Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero.

  

  

  :

  
  

  Cone circular

    
      Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos decone circular o conjunto de todos os segmentos .

  

       

  Elementos do cone circular

        Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:

  

  • altura: distância h do vértice V ao plano 

  • geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência

  • raio da base: raio R do círculo

  • eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone

   

  Cone reto

        Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

  

        Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

  g2 = h2 + R2

  Secção meridiana

        A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.

  

        Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:

     

  Áreas

    Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raiog e comprimento :

  

            Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

  a) área lateral (A_L): área do setor circular

  

  b) área da base (A_B):área do circulo do raio R

  

  c) área total (A_T):soma da área lateral com a área da base

  

  Volume

         Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura:

  d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e S=área da superfície

           Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:

  

           Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:

  
  

          O CG do triângulo está a uma distância   do eixo de rotação. Logo:

  

  
  
  Pirâmide
  
  

  Pirâmides

        Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos  de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .

  

  Elementos da pirâmide

          Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

  

  • base: o polígono convexo R

  • arestas da base: os lados  do polígono

  • arestas laterais: os segmentos 

  • faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA

  • altura: distância h do ponto V ao plano

   

  
  Classificação

       
   Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

          Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

          Veja:

  Observações:

  1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

  2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

   

   

  secção paralela à base de uma pirâmide

          Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

  • as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
  • a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
  • as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

  

  

   

  Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

      
    Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

      Assim, temos:

  •  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

  • A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
  • Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

   

  

   

  Áreas

  Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

  a) área lateral ( A_L): reunião das áreas das faces laterais

  b) área da base ( A_B): área do polígono convexo ( base da pirâmide)

  c) área total (A_T): união da área lateral com a área da base

  A_T = A_L +A_B

          Para uma pirâmide regular, temos:

  

  em que:

  

   

  Volume

          O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:

  

  Troncos

            Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.

            Vamos estudar os troncos.

  Tronco da pirâmide

        Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

  

  • as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;

  • as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

   

   

   

   

   

 

Áreas

      Temos as seguintes áreas:

a) área lateral (A_L): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais

b) área total (A_T): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (A_b) e maior (A_B)

AT=AL+AB+Ab

_Volume

     O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

 

        Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:

Tronco do cone

      Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:

 

• as bases maior e menor são paralelas;
• a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases.

Áreas

      Temos:

a) área lateral

b) área total

   

 

Volume

       Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção são válidas as relações:

Esfera

   
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

     Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

 

Volume

   O volume da esfera de raio R  é dado por:

 

Partes da esfera

Superfície esférica

   A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.

   Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

        A área da superfície esférica é dada por:

 

Zona esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

  

    A área da zona esférica é dada por:

Calota esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

    Ä área da calota esférica é dada por:

 

Fuso esférico

   O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

   A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

Cunha esférica

   Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo :

    O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

 

 

Professor Ozires Costa
   Licenciatura em Matemática
   Universidade Federal do Ceará
   MSN: ozirescosta@hotmail.com
          Fone: (85) 86024149 ou (85) 99533425    
        E-mail de Trabalho:ozirescosta@globo.com 
                                  www.professorozires.page.tl