POLINÔMIOS
Adição e Subtração
Considere os polinômios
–2x² + 5x – 2 e
–3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles.
Adição
(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
–3x³ – 2x² + 7x – 3
Subtração
(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
3x³ – 2x² + 3x – 1
Multiplicação de polinômio por monômio
Para entendermos melhor, observe o exemplo:
(3x
2) * (5x
3 + 8x
2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
15x
5 + 24x
4 – 3x
3
Multiplicação de polinômio por polinômio
Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:
(x – 1) * (x
2 + 2x - 6)
x
2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.
x³ + x² – 8x + 6
Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.
Divisão de Polinômios
Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).
Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. Observe o seguinte esquema:.jpg)
Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório. Observe:
Exemplo 1:
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Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado.
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
4x * (3x² + x – 2) + 0
12x³ + 4x² – 8x
Caso isso ocorra, a divisão está correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinômio por polinômio. Veja:
Exemplo 2:
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Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(2x – 5) * (5x – 9) + (–5)
10x² – 18x – 25x + 45 + (–5)
10x² – 43x + 45 – 5
10x² – 43x + 40
Observe o exemplo de número 3:
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Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(3x² + x – 1) * (2x² – 4x + 5) + 0
6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5
6x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5
Exemplo 4:
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Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(4x – 5) * (3x² – x + 2) + (2x + 7)
12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7)
12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7
12x³ – 19x² + 15x – 3
Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio:
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos:
x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0
x8 – x6 – 6x + 2 = 0
x10 – 6x2 + 9 = 0
As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução.
Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)
Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.
Exemplo 1
Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação:
2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0
Se 2 é raiz da equação, então temos:
2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0
8k + 34 – 35 = 0
8k – 1 = 0
8k = 1
k = 1/8
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.
Exemplo 2
Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 = 0.
Temos que:
m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9
– 19m = –19
m = 1
O valor de m é 1.
• Raiz ou zero do polinômio
Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3 + 5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um númeroqualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando
x = b.
Exemplo:
P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:
x2 - 1 = 0
x2 = 1
x = + 1 ou - 1
Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x2 - 1.
• Grau de um polinômio
Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:
• P(x) = x3 - x2 + 2x -3 → temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x3, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.
P(x) = x3 - x2 + 2x -3 é do 3º grau.
• P(x) = 5x0 = 5 → grau zero.
Divisão de Polinômio por Polinômio
O que vamos relembrar já foi exposto no texto “Divisão de polinômio por monômio”, mas vamos rever novamente: em toda divisão temos o dividendo, divisor, quociente e resto, como estamos falando de divisão de polinômio por polinômio, teremos:
Para o dividendo um polinômio G(x)
Para o divisor um polinômio D(x)
Para o quociente um polinômio Q(x)
Para o resto (podendo ser zero) um polinômio R(x)
Prova real: 
Tem algumas observações a serem feitas, como:
► ao final da divisão o resto sempre tem que ser menor que o divisor: R(x) < D(x).
► quando o resto for igual a zero, a divisão é considerada exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor. R(x) = 0.
Observe a divisão de polinômio por polinômio abaixo, vamos partir de um exemplo, cada passo tomado no desenvolvimento da divisão será explicado.
Dada a divisão
(12x3 + 9 – 4x) : (x + 2x2 + 3)
Antes de começar a operação temos que fazer algumas verificações:
► se todos os polinômios estão em ordem conforme as potências de x.
No caso da nossa divisão devemos ordenar, ficando assim:
(12x3 - 4x + 9) : (2x2 + x + 3)
► observar se no polinômio G(x) não está faltando algum termo, se estiver devemos completar.
No polinômio 12x3 - 4x + 9 está faltando o termo x2, completando ficará, assim:
12x3 + 0x2 - 4x + 9
Agora podemos iniciar a divisão:
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► G(x) tem 3 termos e D(x) tem 3 termos. Pegamos o 1º termo de G(x) e dividimos pelo 1º termo de D(x): 12x3 : 2x2 = 6x, o resultado multiplicará o polinômio 2x2 + x + 3 e o resultado dessa multiplicação subtrairemos pelo polinômio 12x3 + 0x2 - 4x + 9. Assim teremos:
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► R(x) > D(x), podemos dar continuidade à divisão, repetindo o mesmo processo anterior. Achando agora o segundo termo de Q(x).
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R(x) < D(x), não damos continuidade a divisão, concluindo que:
O quociente é 6x – 3 e o resto é –19x + 18.
Teorema do Resto e Teorema de D’Alembert
O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para
x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.
Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.
Exemplo 1
Calcule o resto da divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3).
Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:
P(3) = R
32 + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 – 10 = R
18 – 10 = R
R = 8
Portanto, o resto dessa divisão será 8.
Exemplo 2
Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1.
Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.
P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2
P(1) = 3 – 4
P(1) = – 1
Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.
Exemplo 3
Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio
P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 por x – 2 seja 6.
Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6
P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3
24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8
Exemplo 4
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3 + x2 – 6x + 7 por 2x + 1.
R = P(x) → R = P(– 1/2)
R = 3*(–1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8
Dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Quando necessitarmos dividir um polinômio por um binômio poderemos utilizar este dispositivo.
Por exemplo ao dividirmos o polinômio p(x) = 2x4 – 2x2 + 3x +1 por x – 1. (devem ser colocados todos os coeficientes. nesse caso precisaremos adicionar o coeficiente zero, que seria de x3)
Na segunda linha, repetimos o primeiro número da linha acima (no caso, o número 2). Em seguida, multiplica-se esse número pela raiz e somamos o próximo número da linha superior. Repetir essa operação até que acabem os números da linha superior.
Assim o quociente da divisão é 2x3 + 2x2 + 0x1 + 3 e o resto é 4.
Exemplo
Dividir P(x) = 2x3 – 4x2 + 6x – 2 por (2x – 1).
Resolução
Assim:
Exercícios Resolvidos
01. Efetuar, utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, a divisão do polinômio P(x) = 2x4 + 4x3– 7x2+12 por D(x) = (x – 1).
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Resolução
Assim, temos:
Quociente: Q(x) = 2x3 + 6x2 – x – 1
Resto: R(x) = 11
02. Obter o quociente e o resto da divisão de
P(x) = 2x5 – x3 – 4x + 6 por (x + 2).
Resolução
Assim, temos:
Quociente: Q(x) = 2x4 – 4x3 + 7x2 – 14x + 24
Resto: R(x) = – 42
03. Qual o resto da divisão de P(x) = x40 – x – 1 por
(x–1)?
Resolução
R = P(1) = 140 – 1 – 1 = –1
04. (PUC-MG 2001) O polinômio
P(x) = x4 – kx3 + 5x2 + 5x + 2k é divisível por x – 1. Então, o valor de k é:
a) –11
b) –1/3
c) 1/5
d) 9
Resolução
P(x) = x4 – kx3 + 5x2 + 5x + 2k
P(x) divisível por (x – 1): P(1) = 0
14 – k · 13 + 5 · 12 + 5 · 1 + 2k = 0
1– k + 5 + 5 + 2k = 0
 k = –11
Resposta: A
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Professor Ozires Costa
Licenciatura em Matemática
Universidade Federal do Ceará
MSN: ozirescosta@hotmail.com
Fone: (85) 86024149 ou (85) 99533425
E-mail de Trabalho:ozirescosta@globo.com
www.professorozires.page.tl
