Professor Ozires Costa : Assunto - Geometria Analítica

   GEOMETRIA ANALÍTICA

   * Distância entre dois pontos:

Os estudos em Geometria Analítica possibilitam a relação entre a álgebra e a geometria, abrangendo situações em que são envolvidos ponto, reta e figuras espaciais. Um conceito básico de geometria deve ser aproveitado na GA, a fim de estabelecer a distância entre dois pontos, “por dois pontos passa apenas uma reta”.

Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B.

Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A(xa,ya) e B(xb,yb), note a formação do triângulo retângulo ABC, onde os lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa.
Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras. Com o auxílio da álgebra e de conhecimentos geométricos podemos generalizar e construir uma fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas.

Cateto BC: yb – ya
Cateto AC: xb – xa
Hipotenusa AB: distância (D)

Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

Exemplo 1

Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles.

xa: 2
xb: 4
ya: -3
yb: 5

Exemplo 2

Calcule a distância entre os pontos P(-2,3) e Q(-5,-9).

xa: -2
xb: -5
ya: 3
yb: -9

* Condição de alinhamento entre três pontos:

Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta.

Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais. Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo do determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das coordenadas.

Exemplo 1

Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão alinhados.

Diagonal principal

2 * 7 * 1 = 14
5 * 1 * 5 = 25
1 * 3 * 11 = 33

Diagonal secundária

1 * 7 * 5 = 35
2 * 1 * 11 = 22
5 * 3 * 1 = 15

Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária

(14 + 25 + 33) – (35 + 22 + 15)

72 – 72 = 0

Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0.

Exemplo 2

Considerando os pontos A(2, 2), B(–3, –1) e C(–3, 1), verifique se eles estão alinhados.

Diagonal principal

2 * (–1) * 1 = –2
2 * 1 * (–3) = –6
1 * (–3) * 1 = –3

Diagonal secundária

1 * (–1) * (–3) = 3
2 * 1 * 1 = 2
2 * (–3) * 1 = –6

(– 2 – 6 – 3) – (3 + 2 – 6)
– 11 – (–1)
– 11 + 1 = – 10

Pelo resultado do determinante da matriz verificamos que os pontos não estão alinhados.

* Distância entre uma reta e um ponto:

Considere um ponto A (x₀, y₀) e uma reta s: ax + by + c = 0 pertencente a um mesmo plano, a distância desses pontos poderá ser calculada através da fórmula:

Exemplo 1:
Calcule a distância da reta P à reta r, em cada um dos casos:
• P(1,3) e r: 5x + 12y – 2 = 0

Iremos substituir 1 = x₀; 3 = y₀; a = 5; b = 12; c = -2.

d = 39
      13

• P(-2,-4) e r: y = x – 8

Nesse caso a reta está na forma reduzida, portanto é preciso transformá-la para a forma geral.
y = x – 8 → x – y – 8 = 0

Assim, iremos substituir -2 = x₀; -4 = y₀; a = 1; b = -1; c = -8.

d = |-6|
       √2

d = 6 . √2 = 6√2 = 6√2 = 3 √2
     √2 . √2   (√2)² 2

Exemplo 2:

Sabendo que os vértices de um triângulo são A(1,3), B(5,0) e C(0,5), responda:

a) Qual é a equação geral da reta AB?

Os pontos A(1,3) e B(5,0) pertencem à reta AB e com eles podemos encontrar o coeficiente angular dessa reta e aplicá-lo na equação fundamental.

m_AB = 0 – 3     = - 3
             5 – 1          4

y – y₀ = m (x – x₀)
y – 0 = -3/4 (x – 5)
y = -3/4x + 15/4

4y = - 3x + 15
         4

3x + 4y – 15 = 0

b) Calcule a medida da altura relativa ao vértice C.

Nesse caso iremos calcular a distância do ponto C à reta AB. Substituindo os valores 0 = x₀; 5 = y₀; a = 3; b = 4; c = -15 na fórmula: .

d = |20 – 15|
           √25

d = 5 = 1
      5

* Perpendicularismo entre uma reta e um ponto:

Em um plano cartesiano as retas podem ser paralelas ou coincidentes, se no ponto comum as duas retas formarem um ângulo de 90° graus podemos dizer que são perpendiculares, para que isso seja verdade os seus coeficientes deverão ser o oposto do inverso um do outro. Veja alguns exemplos onde aplicamos essa comparação dos coeficientes de duas retas coincidentes e perpendiculares.

Exemplo 1: obtenha a equação geral da reta t que passa pelo ponto P(9,-1) e é perpendicular à reta s: y = x/5 + 2.

Resolução

A reta s tem equação reduzida igual a y = x/5 + 2, nela podemos identificar o coeficiente angular de s: ms = 1/5. Como foi dito no enunciado que as retas s e t são perpendiculares, podemos considerar as seguintes informações pertencentes à reta t:

t: P(9,-1) e seu coeficiente será o oposto do inverso do coeficiente da reta s: mt = -5. Com essas informações e utilizando a definição de equação fundamental da reta podemos encontrar a equação geral da reta t.

y – y₀ = m(x – x₀)
y – (-1) = -5(x – 9)
y + 1 = - 5x + 45
5x + y – 45 = 0 é a equação geral da reta t.

Exemplo 2: Considerando o gráfico:

Responda:
a) Obtenha uma equação da reta r.

Com os pontos pertencentes à reta r, podemos calcular seu coeficiente que será igual à mr = -2, com esse valor mais um dos dois pontos e utilizando a definição de equação fundamental da reta, a reta r terá a seguinte equação:

y – y₀ = m(x – x₀)
y – 0 = - 2(x + 1)
2x – y – 2 = 0

b) Obtenha a equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r.
Como as retas r e s são perpendiculares e o coeficiente da reta r é mr = -2, podemos concluir pela definição de coeficiente de retas paralelas que o coeficiente da reta s será ms = 1/2, como o ponto P pertence à reta s, concluímos pela definição da equação fundamental da reta, que a reta s terá equação igual a:

y – y₀ = m(x – x₀)
y + 2 = 1/2 (x – 5)
y + 2 = x/2 – 5/2
x – 2y – 9 = 0

c) Determinar o ponto A (x,y) de interseção de r com a reta s obtida no item b.

O ponto A irá pertencer à reta r e para que esse mais os outros dois pontos pertençam à reta r eles deverão obedecer à condição de alinhamento de três pontos, que diz que os coeficientes angulares das semi-retas formadas pelos pontos deverão ser iguais. Assim iremos obter uma equação em função dos valores do ponto A (x,y).

-2x – y = 2

O ponto A e P pertencem à reta s, com eles é possível calcular o coeficiente angular da reta s:
y + 2 = 1
x – 5 2

x – 2y = 9

Com essas duas equações podemos formar um sistema que terá como solução o par ordenado (1,-4) que corresponde ao ponto A.

* Coeficiente angular:

A fórmula que será apresentada para facilitar o cálculo do coeficiente angular de uma reta só poderá ser utilizada por retas não-verticais, ou seja, retas onde sua inclinação é maior ou igual a 0° e menor que 180°, sendo diferente de 90°.

Veja os passos que foram levados em consideração para obter o cálculo do coeficiente angular de uma reta.

Considere os pontos A(x_A, y_A) e B(y_B, y_B), esses formam uma reta t no plano cartesiano de inclinação α:

Prolongando o segmento de reta que passa pelo ponto A paralelo ao eixo Ox formamos um triângulo retângulo BMA. E um ângulo equivalente ao da inclinação da reta.

Levando em consideração o triângulo retângulo BMA e o seu ângulo α, teremos como cateto oposto a y_B – y_A e cateto adjacente x_B – x_A.

Sabendo que:

• O coeficiente angular de uma reta é o mesmo que a tangente do ângulo de inclinação.
• A função tangente é calculada pela razão do cateto oposto pelo cateto adjacente.

Assim, podemos concluir que o coeficiente angular (m) de uma reta será calculado através da seguinte fórmula:

m = tg α = yB – yA
                   xB – xA

ou

m = ∆y
        ∆x

Bissetriz de um quadrante é uma reta com extremidade no ponto (0,0) que divide o ângulo dos quadrantes pares e ímpares em dois ângulos congruentes.
• Bissetrizes dos quadrantes ímpares.
A bissetriz dos quadrantes ímpares (I e III) divide-os em dois ângulos congruentes, cada um medindo 45°. Dessa forma, essa reta (bissetriz) terá ponto (0,0), inclinação da reta igual a 45° e coeficiente angular igual a m = tg45° = 1.

Aplicando a regra da equação fundamental, iremos concluir que:
y – y₀ = m (x – x₀)
y – 0 = 1 (x – 0)
y = x
A equação da bissetriz dos quadrantes ímpares será sempre representada por y = x, pois todos os valores do eixo Ox serão iguais aos do eixo Oy. Veja alguns dos possíveis pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes ímpares: (1,1), (-4,-4), (1/2,1/2). Genericamante podemos dizer que os pontos serão iguais a (x,x).

• Bissetriz dos quadrantes pares

A bissetriz dos quadrantes pares (II e IV) divide-os em dois ângulos congruentes, cada um medindo 45°. Dessa forma, essa reta (bissetriz) terá ponto (0,0), inclinação da reta igual a 135° e coeficiente angular igual a m = tg135º= -1.

Aplicando a regra da equação fundamental iremos concluir que:
y – y₀= m (x – x₀)
y – 0 = -1 (x – 0)
y = -x
A equação da bissetriz dos quadrantes pares será sempre representada por y = -x, pois todos os valores do eixo Oy serão opostos aos do eixo Ox. Veja alguns dos possíveis pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes pares: (1,-1), (-4,+4), (1/2,-1/2). Genericamante podemos dizer que os pontos serão iguais a (x,-x).

Considere um triângulo no plano cartesiano de vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C). A área desse triângulo é dada por:

Observe que a área é obtida multiplicando ½ pelo módulo do determinante das coordenadas dos vértices.

Exemplo 1. Determine a área de um triângulo de vértices A(3, 3), B(6, 3) e C(3, 5).
Solução: vamos fazer o cálculo do determinante das coordenas dos vértices do triângulo.

Exemplo 2. Determine o valor de k para que o triângulo de vértices A(0, 0), B(k, 0) e C(0, k) tenha uma área de 32 unidades de área.
Solução: primeiro devemos realizar o cálculo do determinante das coordenadas dos vértices do triângulo. Teremos:

Exemplo 3. Calcule a área do triângulo de vértices A(0, 2), B(8, 6) e C(14, – .
Solução: realizando o cálculo do determinante das coordenadas dos vértices dos triângulos, obtemos:

* Área de um quadrilátero:

A geometria analítica utiliza expressões algébricas para compreender o comportamento das formas geométricas planas. Através das propriedades da álgebra podemos fazer o estudo de retas, pontos, triângulos, circunferências e demais figuras geométricas.

Veremos como determinar a área de um quadrilátero do ponto de vista da geometria analítica.

Considere quatro pontos distintos do plano A(Xa, Ya), B(Xb, Yb), C(Xc, Yc) e D(Xd, Yd). Se esses pontos não estiverem alinhados, eles determinam um quadrilátero de vértices ABCD, como mostra a figura.

Traçando uma das diagonais desse quadrilátero, obtemos dois triângulos: triângulo ABC e triângulo ACD. A área do quadrilátero equivale à soma das áreas dos dois triângulos. Sabemos, pelo estudo da geometria analítica, que a área do triângulo no plano é dada por metade do módulo do determinante de suas coordenadas. Assim, a área do quadrilátero ABCD será dada por:

Onde

Vejamos um exemplo de aplicação do método descrito acima.

Exemplo: Calcule a área do quadrilátero de vértices A(1, 5), B(6, 5), C(6, 1) e D(1, 1).

Solução: Traçando uma das diagonais do quadrilátero, obtemos dois triângulos. Assim, a área do quadrilátero será a soma das áreas desses dois triângulos.

* Retas Concorrentes:

Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. As duas retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo α é tal que:

Onde m_s e m_r são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente.
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:

Exemplo 1. Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0

Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.

Para a reta r, temos:

x - y = 0
y = x

Portanto, m_r = 1.
Para a reta s, temos:

Portanto, m_s = -3/4
Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas:

Exemplo 2. Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8.

Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas dadas.

Para a reta r, temos:
y = 3x + 4
m_r = 3
Para a reta s, temos:
y = – 2x + 8
m_s = – 2
Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos:

* Elipse:

Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.

Na ilustração da elipse acima temos:

F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c).
O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a.
O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b.
O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos A1A2 e F1F2.
A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a.

Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que:
a² = b² + c²

Equação reduzida da elipse

De acordo com a posição dos focos em relação aos eixos das abscissas e das ordenadas, a elipse possui as seguintes equações reduzidas:

Exemplo 1

Vamos determinar as equações das seguintes elipses:

a)

a² = b² + c²
a² = 6² + 8²
a² = 36 + 64
a² = 100
a = 10

Equação:

b)

a² = b² + c²
a² = 5² + 12²
a² = 25 + 144
a² = 169
a = 13

Equação:

Exemplo 2

Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144.

Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma:

a² = 16 → a = 4
b² = 4 → a = 2

a² = b² + c² → 16 = 2 + c² → c² = 16 – 2 → c² = 14

Os focos são F1(14,0) e F2(–14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A2(–5,0).

A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão.