EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA PLANA DO CVUFRGS:
18. Os triângulos ABC e BAD são congruentes e seus ângulos medem 30º, 60º e 90º. As hipotenusas desses triângulos medem 8 cm.
A área hachurada, comum aos dois triângulos é ...
Resolução: o triângulo hachurado tem base 8 cm, dois ângulos de 30° na base, sendo então um triângulo isósceles. Se traçarmos a altura desse triângulo, estaremos dividindo-o em dois triângulos congruentes pelo caso especial dos triângulos retângulos, cada um, com base medindo 4 cm. Para encontrar a altura h fazemos o seguinte:
tg 30° = h/4, então, sqrt(3)/3 = h/4
h= 4.sqrt(3)/3, como a área do triângulo é calculada fazendo (base X altura)/2 , temos:
(8.4.sqrt(3)/3)/2 = 16.sqrt(3)/3 = área do triângulo hachurado.
19. Na figura abaixo, os círculos têm raio 5 e centros em P e Q.
Se PQ = 5, o perímetro da região hachurada é ...
Resolução: Perímetro = 2.pi.r
Como PQ = 5 e o raio também é 5, podemos concluir que o perímetro é 2.pi.5 = 10.pi
20. O triângulo ABC da figura abaixo tem área 12. D e E são, respectivamente, os pontos médios dos lados e .
A área da região hachurada é ...
Resolução: Quando um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então podemos concluir que: ele é paralelo ao terceiro lado e ele é metade do terceiro lado. Então a área do triângulo ABC é:
A = (AB.h)/2 = 12 , logo AB.h = 24
E a área do triângulo ADE com altura h/2 é dada por: A" = (DE.h/2)/2, mas DE = AB/2, logo A" = (AB/2.h/2)/2 =
(AB.h)/8 = 24/8 = 3. Logo a área do triângulo hachurado é 3.
21. Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, causando a elevação do nível da água em 1,5 cm. Se o raio da base do cilindro mede 5 cm, o volume do sólido é ...
Resolução : O volume do sólido mergulhado é igual ao volume de água elevado. O volume de água elevado é dado pela área da base do cilindro vezes a elevação do nível da água de 1,5 cm, que é a altura h.
Assim, V = pi.r².h, onde r = 5 cm e h = 1,5 cm. Logo V = pi.25.1,5
Portanto V = 37,5.pi cm³.
22. O desenho abaixo representa a planificação de um sólido que pode sser obtido ligando-se os pontos A, B, C e D. Os triângulos menores do dessenho são equiláteros de lado cm.
O volume do sólido é ...
Resolução : Considerando a base do sólido um triângulo eqüilátero, encontramos sua área utilizando a equação A = l².sqrt(3)/4, onde l é o lado do triângulo eqüilátero e vale sqrt(2), logo a área da base do sólido vale A = (sqrt(2))².sqrt(3)/4, ou A = sqrt(3)/2. A altura h do sólido é dada pela equação h = l.sqrt(6)/3, onde l é o lado do triângulo eqüilátero e vale sqrt(2), e portanto h = 2.sqrt(3)/3.
Assim, o volume do sólido é encontrado pela equação V= (A.h)/3, e substituindo os valores respectivos encontrados acima temos que V = [(sqrt(3)/2).(2.sqrt(3)/3)]/3, e portanto V = 1/3.
23. Na figura abaixo, P é o centro da face superior do cubo e Q é um vértice do cubo. Os cones A e B têm a mesma base e
vértices, respectivamente, em P e Q. Se o volume do cone A é 1, o volume do cone B é ...
Resolução : Sejam A e B dois sólidos. Se qualquer plano horizontal secciona A e B segundo figuras planas com áreas iguais, então vol(A) = vol(B) , pelo Princípio de Cavalieri.
A partir daí, observamos que ambos os cones possuem mesma área da base e mesma altura (comprimento da aresta do cubo), e como o volume do cubo é dado pela equação V = (A.base X h)/3, temos que vol(A) = vol(B), ou seja, vol(B) = 1.
